Калькуляс: Ранние трансцендентные функции (7-е издание): От списков к пределам: Основа последовательностей

Представьте Вселенную как серию снимков. Последовательность — это именно то: последовательность это упорядоченный список действительных чисел, где положение (индекс $n$) определяет значение. В отличие от множества, порядок и повторения являются основой структуры.

1. Строгое определение

Последовательность $\{a_n\}$ можно рассматривать как список: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$. Более формально, это функция, областью определения которой является множество положительных целых чисел.

Определение 1 (Неформальное)

Последовательность имеет предел $L$ (записывается как $\lim_{n \to \infty} a_n = L$), если мы можем сделать члены $a_n$ сколь угодно близкими к $L$, взяв достаточно большое $n$.

Определение 2 (Формальное ε–N)

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$, если для каждого $\varepsilon > 0$ существует соответствующее целое число $N$, такое что при $n > N$ выполняется $|a_n - L| < \varepsilon$.

2. Мост к исчислению: Теорема 3

Одним из наших самых мощных инструментов является возможность рассматривать дискретные последовательности как непрерывные функции. Это позволяет использовать полную силу правила Лопиталя.

Если $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ и $f(n) = a_n$, то $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.

Работающий пример

Найдите $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$.

Рассмотрим $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. При $x \to \infty$ у нас возникает неопределённая форма $\infty/\infty$. Применяя правило Лопиталя:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$. По теореме 3, последовательность также сходится к 0.

3. Нюанс расходимости

Расхождение не всегда означает «взрыв» до бесконечности. Последовательность может расходиться через колебания. Рассмотрим $a_n = (-1)^n$. Члены бесконечно колеблются между $-1$ и $1$, никогда не сходясь к одному значению.

🎯 Основной принцип

Сходимость требует, чтобы для любого выбранного малого расстояния ε существовало некоторое место в последовательности (N), после которого все оставшиеся члены остаются внутри этого расстояния от предела $L$.

Тематический боковой блок: В последнем разделе этой главы вас просят использовать ряд для вывода формулы скорости океанской волны.

ВОПРОС 1

Какова общая формула члена $a_n$ для последовательности $\{3/5, 4/25, 5/125, 6/625, 7/3125, \dots\}$?

$a_n = (n+2)/5^n$

$a_n = (n+1)/5^n$

$a_n = (n+2)/5^{n-1}$

$a_n = 3n/5^n$

ВОПРОС 2

Какое утверждение правильно описывает сходимость $a_n = 1 - (0.2)^n$?

Она сходится к 1, потому что $(0.2)^n \to 0$ при $n \to \infty$.

Она расходится, потому что $0.2 < 1$.

Она сходится к 0.

Она расходится из-за колебаний.

ВОПРОС 3

Чему равен первый член $a_1$ последовательности $a_n = 2n/(n^2 + 1)$?

0.5

1.5

ВОПРОС 4

Согласно теореме 3, почему мы можем применять правило Лопиталя к последовательностям?

Потому что если непрерывная функция $f(x)$ имеет предел $L$, её целочисленные значения также должны приближаться к $L$.

Потому что все последовательности дифференцируемы.

Потому что последовательности такие же, как непрерывные функции.

Потому что правило Лопиталя применяется только к дискретным индексам.

ВОПРОС 5

Какая из этих формул верно описывает $\{1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, \dots\}$, начиная с $n=1$?

$a_n = 1/(2n-1)$

$a_n = 1/(2n+1)$

$a_n = 1/n^2$

$a_n = 2/n$

Продвинутые задачи на сходимость

Примените фундаментальные теоремы последовательностей для решения этих сложных задач. Обратите внимание, что некоторые результаты связаны со суммой ряда, которая определяется как предел последовательности частичных сумм.

Задача 1

Найдите сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{n(n+1)} + \frac{1}{2^n} \right)$.

Решение: Разделите ряд на две части:
1. Часть с вычитанием (телескопическая часть): $\sum \frac{3}{n(n+1)} = 3 \sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$. Частичная сумма $S_k = 3(1 - 1/(k+1))$. При $k \to \infty$ этот предел равен 3.
2. Геометрическая часть: $\sum_{n=1}^\infty (1/2)^n$ — это геометрический ряд с $a=1/2$ и $r=1/2$. Сумма $= (1/2)/(1-1/2) = 1$.
Общая сумма = 3 + 1 = 4.

Задача 2

Множество Кантора образуется путём многократного удаления средней трети интервалов. Докажите, что общая длина всех удалённых интервалов равна 1.

Решение:
- На шаге 1 удаляется 1 интервал длиной 1/3.
- На шаге 2 удаляется 2 интервала длиной 1/9.
- На шаге $n$ удаляется $2^{n-1}$ интервалов длиной $(1/3)^n$.
Общая длина удалённых интервалов $= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty (\frac{2}{3})^{n-1}$.
Это геометрический ряд с $a=1/3$ и $r=2/3$. Сумма $= (1/3) / (1 - 2/3) = (1/3)/(1/3) = 1$.

Задача 3

Объясните, почему $1.6 - 0.8(x-1) + 0.4(x-1)^2 \dots$ не может быть рядом Тейлора функции $f$, центрированным в точке 1, если $f$ проходит через точки (1, 2) и (2, 2.8).

Решение: В ряде Тейлора, центрированном в точке $a=1$, первый член — это $f(1)$. Здесь первый член равен 1.6, но нам говорят, что $f(1)=2$. Поскольку $1.6 \neq 2$, это не может быть ряд Тейлора для $f$.